Conséquences de la stricte croissance de la fonction exponentielle

Conséquences

La stricte croissance de la fonction exponentielle permet de déduire les équivalences suivantes. Pour tout réel \(x\)  et  \(y\) , on a :

• \(\text{exp}(x) = \text{exp}(y) \Leftrightarrow x= y\)
  
• \(\text{exp}(x) < \text{exp}(y) \Leftrightarrow x < y\)
  
• \(\text{exp}(x) > \text{exp}(y) \Leftrightarrow x > y\)
  

Ces équivalences permettent de résoudre des équations et des inéquations d'inconnue réelle \(x\) comprenant des fonctions exponentielles. 

Exemples

1. La solution de l'équation  \(\text{exp}(x) =\text{exp}(7)\)  est  \(x = 7\) , donc \(S = \{7\}\) .
2. Les solutions de l'inéquation  \(\text{exp}(x) \geqslant \text{exp}(6)\)  sont les réels  \(x\)  tels que  \(x \geqslant 6\) , donc  \(S = [6 ; +\infty [\) .   
3. Les solutions de l'inéquation  \(\text{exp}(x) < \text{exp}(-4)\)  sont les réels  \(x\)  tels que  \(x < -4\) , donc  \(S = ] - \infty ; -4[\) .